问答题
为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(如图)．已知井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m/s．在提升过程中，污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功?
(说明：①1N×1m=1J；m，N，s，J分别表示米，牛顿，秒，焦耳．②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计．)
(说明：①1N×1m=1J；m，N，s，J分别表示米，牛顿，秒，焦耳．②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计．)
【正确答案】
【答案解析】解 作x轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功
W=W 1 +W 2 +W 3 ，
其中W 1 是克服抓斗自重所作的功；W 2 是克服缆绳重力所作的功；W 3 为提出污泥所作的功．由题意知
W 1 =400×30=12000(J)．
将抓斗由x处提升到x+dx处，克服缆绳重力所作的功为
dW 2 =50(30-x)dx，
从而
在时间间隔[t，t+dt]内提升污泥需作功为
dW 3 =3(2000-20t)dt，
将污泥从井底提升至井口共需时间
，所以
W=W 1 +W 2 +W 3 ，
其中W 1 是克服抓斗自重所作的功；W 2 是克服缆绳重力所作的功；W 3 为提出污泥所作的功．由题意知
W 1 =400×30=12000(J)．
将抓斗由x处提升到x+dx处，克服缆绳重力所作的功为
dW 2 =50(30-x)dx，
从而
在时间间隔[t，t+dt]内提升污泥需作功为
dW 3 =3(2000-20t)dt，
将污泥从井底提升至井口共需时间
，所以