已知矩阵A＝
【正确答案】正确答案：由A的特征多项式 ｜λE－A｜＝
＝(λ－6)
2
(λ＋2)， 知矩阵A的特征值是λ
1
＝λ
2
＝6，λ
3
＝－2．由于矩阵A可以相似对角化，故λ＝6必有2个线性无关的特征向量，那么由 r(6E－A)＝
＝1， 得知a＝0．因此χ
T
Aχ＝2χ
1
2
＋2χ
2
2
＋6χ
3
2
＋10χ
1
χ
2
． 二次型的矩阵为A
1
＝
．由 ｜λE－A
1
｜＝
＝(λ－6)(λ－7)(λ＋3)， 知二次型χ
T
Aχ＝χ
T
A
1
χ的特征值是6，7，－3． 对λ＝6，由(6E－A
1
)χ＝0得α
1
＝(0，0，1)
T
． 对λ＝7，由(7E－A
1
)χ＝0得α
2
＝(1，1，0)
T
． 对λ＝－3，由(－3E－A
1
)χ＝0得α
3
＝(1，－1，0)
T
． 不同特征值的特征向量已正交，故只需单位化，有
那么，令P＝(γ
1
，γ
2
，γ
3
)
＝(λ－6)
2
(λ＋2)， 知矩阵A的特征值是λ
1
＝λ
2
＝6，λ
3
＝－2．由于矩阵A可以相似对角化，故λ＝6必有2个线性无关的特征向量，那么由 r(6E－A)＝
＝1， 得知a＝0．因此χ
T
Aχ＝2χ
1
2
＋2χ
2
2
＋6χ
3
2
＋10χ
1
χ
2
． 二次型的矩阵为A
1
＝
．由 ｜λE－A
1
｜＝
＝(λ－6)(λ－7)(λ＋3)， 知二次型χ
T
Aχ＝χ
T
A
1
χ的特征值是6，7，－3． 对λ＝6，由(6E－A
1
)χ＝0得α
1
＝(0，0，1)
T
． 对λ＝7，由(7E－A
1
)χ＝0得α
2
＝(1，1，0)
T
． 对λ＝－3，由(－3E－A
1
)χ＝0得α
3
＝(1，－1，0)
T
． 不同特征值的特征向量已正交，故只需单位化，有
那么，令P＝(γ
1
，γ
2
，γ
3
)
【答案解析】