问答题
问答题
设f(x)，g(x)在(a，b)可微，g(x)≠0，且
求证：存在常数C，使得
求证：存在常数C，使得
【正确答案】即证f(x)/g(x)在(a，b)为常数．由
[*]
[*]f(x)/g(x)在(a，b)为常数，即[*]常数C，使
[*]即[*]
【答案解析】
问答题
设f(x)在(-∞，+∞)二阶可导，且f(x)≤0，f"(x)≥0(x∈(-∞，+∞))．求证：f(x)为常数(
【正确答案】只需证f'(x)=0([*]∈(-∞，+∞))．
若f'(x)[*]x0∈(-∞，+∞)，f'(x0)≠0．类似于凹函数性质，有
[*]
当f'(x0)＞0时[*]；当f'(x0)＜0时[*]，均与f(x)≤0(x∈(-∞，+∞))矛盾．
因此f'(x)=0([*])，即f(x)为常数([*])．
①若f"(x)≥0(x∈(-∞，+∞))，则[*]，x0，有
f(x)≥f(x0)+f'(x0)(x-x0)．
证法1° 由泰勒公式得
[*]
≥f(x0)+f'(x0)(x-x0)，
其中ξ在x与x0之间．
证法2°
[*]
其中ξ在x与x0之间，f'(x)单调不减。
②证明函数f(x)在给定的区间内恒等于零，常利用导数为零、最大值等于最小值、积分中值定理、泰勒公式等方法,本题中f(x)为抽象函数,又[*]∈(-∞，+∞)，故考虑利用反证法．
若f'(x)[*]x0∈(-∞，+∞)，f'(x0)≠0．类似于凹函数性质，有
[*]
当f'(x0)＞0时[*]；当f'(x0)＜0时[*]，均与f(x)≤0(x∈(-∞，+∞))矛盾．
因此f'(x)=0([*])，即f(x)为常数([*])．
①若f"(x)≥0(x∈(-∞，+∞))，则[*]，x0，有
f(x)≥f(x0)+f'(x0)(x-x0)．
证法1° 由泰勒公式得
[*]
≥f(x0)+f'(x0)(x-x0)，
其中ξ在x与x0之间．
证法2°
[*]
其中ξ在x与x0之间，f'(x)单调不减。
②证明函数f(x)在给定的区间内恒等于零，常利用导数为零、最大值等于最小值、积分中值定理、泰勒公式等方法,本题中f(x)为抽象函数,又[*]∈(-∞，+∞)，故考虑利用反证法．
【答案解析】