问答题
设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B
T
为B的转置矩阵，试证：B
T
AB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．
【正确答案】
【答案解析】设B
T
AB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量x≠0，有X
T
(B
T
AB)x＞0，即(Bx)
T
A(Bx)＞0，于是，Bx≠0．因此Bx=0只有零解．从而r(B)=n．
充分性．因(B T AB) T =B T A T B=B T AB，故B T AB为实对称矩阵．若r(B)=n，则线性方程组Bx=0只有零解．从而对任意实n维列向量x≠0有Bx≠0．又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0有(Bx) T A(Bx)＞0．于是当x≠0时，x T (B T AB)x＞0，故B T AB为正定矩阵．
必要性的另一证法：因B T AB正定，所以r(B T AB)=n．但另一方面r(B T AB)≤r(B)≤n，所以r(B)=n． [解析] 正定矩阵是由二次型的正定性引入的，所以首先需要验证B T AB是实对称矩阵；充分性的证明是采用定义法完成的，当然还可以采用特征值法完成：设λ是B T AB的特征值，α是对应于λ的特征向量，于是(B T AB)α=λα，用α T 左乘式子两端有α T (B T AB)α=λα T α，即(Bα) T A(Bα)=λα T α，又r(B)=n，α≠0，则Bα≠0，而α T α=||α||＞0，且A是正定矩阵，于是α T (B T AB)α=λα T α＞0
充分性．因(B T AB) T =B T A T B=B T AB，故B T AB为实对称矩阵．若r(B)=n，则线性方程组Bx=0只有零解．从而对任意实n维列向量x≠0有Bx≠0．又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0有(Bx) T A(Bx)＞0．于是当x≠0时，x T (B T AB)x＞0，故B T AB为正定矩阵．
必要性的另一证法：因B T AB正定，所以r(B T AB)=n．但另一方面r(B T AB)≤r(B)≤n，所以r(B)=n． [解析] 正定矩阵是由二次型的正定性引入的，所以首先需要验证B T AB是实对称矩阵；充分性的证明是采用定义法完成的，当然还可以采用特征值法完成：设λ是B T AB的特征值，α是对应于λ的特征向量，于是(B T AB)α=λα，用α T 左乘式子两端有α T (B T AB)α=λα T α，即(Bα) T A(Bα)=λα T α，又r(B)=n，α≠0，则Bα≠0，而α T α=||α||＞0，且A是正定矩阵，于是α T (B T AB)α=λα T α＞0