【正确答案】正确答案：令φ(x)=f(x)∫ _x ^a g(t)dt+g(x)∫ _a ^x f(t)dt， φ(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且 φ"(x)=[f"(x)∫ _x ^b g(t)dt一f(x)g(x)]+[g(x)f(x)+g"(x)∫ _a ^x f(t)dt] =f"(x)∫ _x ^b g(t)dt+g"(x)∫ _a ^x f(t)dt， 因为φ(a)=φ(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)使φ(ξ)=0，即 f"(ξ)∫ _ξ ^b g(t)dt+g"(ξ)∫ _a ^ξ f(t)dt=0， 由于g(b)=0及g"(x)＜0，所以区间(a，b)内必有g(x)＞0， 从而就有∫ _x ^b g(t)dt＞0，于是有