单选题
下列命题中正确的是
A．设正项级数
发散，则
．
B．设
收敛，则
收敛．
C．设
中至少一个发散，则
发散．
D．设
收敛，则
A．设正项级数
发散，则
．
B．设
收敛，则
收敛．
C．设
中至少一个发散，则
发散．
D．设
收敛，则
【正确答案】
C
【答案解析】[解析] [分析一] 我们容易证明其中的C是正确的．我们用反证法．若
收敛，由
|a n |≤|a n |+|b n |，|b n |≤|a n |+|b n |
均收敛
均收敛．因此应选C．
[分析二] 举反例，否定A，B与D．
关于A：注意
＞1(n＞1)，令
，但
发散．因此A是错误的．
关于B：
，即(a
1
+a
2
)+(a
3
+a
4
)+…+(a
2n-1
+a
2n
)+…是由
两两添加括号而得，前者收敛得不到后者收敛．如
发散，但
(a
2n-1
+a
2n
):(1-1)+(1-1)+(1-1)+…是收敛的．因此B也是错的．
关于D：如
，则
收敛，但
收敛，由
|a n |≤|a n |+|b n |，|b n |≤|a n |+|b n |
均收敛
均收敛．因此应选C．
[分析二] 举反例，否定A，B与D．
关于A：注意
＞1(n＞1)，令
，但
发散．因此A是错误的．
关于B：
，即(a
1
+a
2
)+(a
3
+a
4
)+…+(a
2n-1
+a
2n
)+…是由
两两添加括号而得，前者收敛得不到后者收敛．如
发散，但
(a
2n-1
+a
2n
):(1-1)+(1-1)+(1-1)+…是收敛的．因此B也是错的．
关于D：如
，则
收敛，但