解答题
已知A是3阶的实对称矩阵，α1=(1，－1，－1)T，α2=(－2，1，0)T是齐次线性方程组Ax=0的解，又(A－
6E)α=0，α≠0．
6E)α=0，α≠0．
问答题
17.求α和二次型xTAx表达式；
【正确答案】由Aα1=0=0α1，Aα2=0=0α2，知λ1=λ2=0是矩阵A的特征值，α1，α2是矩阵A的属于特征值0的线性无关的特征向量．由已知Aα=6α，且α≠0，所以λ3=6是A的特征值，设α=(x1，x2，x3)T，由于实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，于是
解得λ3=6的一个特征向量为α=(1，2，－1)T．
由A(α1，α2，α)=(0，0，6α)，得
解得λ3=6的一个特征向量为α=(1，2，－1)T．
由A(α1，α2，α)=(0，0，6α)，得
【答案解析】
问答题
18.用正交变换x=Py化二次型xTAx为标准形，并写出所用的正交变换；
【正确答案】取α1=(1，－1，－1)T，α2=(－2，1，0)T，α=(1，2，－1)T．显然α1，α2与α正交，而α1，α2是线性无关的(可用施密特标准正交化)，也可取ξ1=α1=(1，－1，－1)T，ξ2=α1+α2=(1，－1，－1)T+(－2，1，0)T=(－1，0，－1)T，ξ3=α=(1，2，－1)T．则ξ1，ξ2，ξ3，两两正交，单位化，得
令
令
【答案解析】
问答题
19.求(A－3E)6．
【正确答案】因为
所以
于是(A－3E)6=(PΛP－1－3PP－1)6=[P(Λ－3E)P－1]6=P(Λ－3E)6P－1
所以于是(A－3E)6=(PΛP－1－3PP－1)6=[P(Λ－3E)P－1]6=P(Λ－3E)6P－1
【答案解析】