解答题
设二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2)2+(x1-x3)2+(x3-x2)2，
(Ⅰ)求二次型f的秩；
(Ⅱ)求正交变换Q，使二次型f化为标准形．
(Ⅰ)求二次型f的秩；
(Ⅱ)求正交变换Q，使二次型f化为标准形．
【正确答案】
【答案解析】由于f=2x12+2x22+2x32-2x1x2-2x2x3-2x1x3，二次型对应的矩阵为A，则有
所以矩阵A的秩为2．
(Ⅱ)记二次型f的矩阵为A，则
可知λ1=0，λ2=λ3=3．
又当λ1=0时，特征向量η1=(1,1,1)T，将η1单位化后得r1=
．
当λ2=λ3=3时，特征向量η2=(-1，1，0)T，η3=(-1，0，1)T，对η2，η3施行施密特正交化得
再将β2，β3单位化，得r2=
，r3=
．
故正交变换矩阵Q=
，且有x=Qy,使f=
所以矩阵A的秩为2．
(Ⅱ)记二次型f的矩阵为A，则
∣λE-A∣=
=λ(λ-3)2，
=λ(λ-3)2，可知λ1=0，λ2=λ3=3．
又当λ1=0时，特征向量η1=(1,1,1)T，将η1单位化后得r1=
．当λ2=λ3=3时，特征向量η2=(-1，1，0)T，η3=(-1，0，1)T，对η2，η3施行施密特正交化得
β2=η2=(-1，1，0)T，
β3=η3-
=(-1,0,1)T-
(-1,1,0)T=(
，
，1)T，
=(-1,0,1)T-(-1,1,0)T=(，，1)T，再将β2，β3单位化，得r2=
，r3=．故正交变换矩阵Q=
，且有x=Qy,使f=