【正确答案】由题设知(1，2，2，1)^T-(1，-2，4，0)^T=(0，4，-2，1)^T是方程组Ax=0的解，所以有
4α₂-2α₃+α₄=0，即α₄=-4α₂+2α₃.
由题设(1，-2，4，0)^T是方程组Ax=β的解得
β=α₁-2α₂+4α₃．
于是方程组By=α₁+2a₂，即
(α₃，α₂，α₁，β-α₄)y=α₁+2α₂，
成为(α₃，α₂，α₁，α₁+2α₂+2α₃)y=α₁+2α₂. (1)
由A=(α₁，α₂，α₃，α₄)的秩为3知α₁，α₂，α₃线性无关，由此得到式(1)的系数矩阵的秩为3，于是对应的齐次方程组的解(2，2，1，-1)^T即为这个齐次方程组的基础解系，此外式(1)有特解(-2，0，0，1)^T．所以，式(1)，即方程组By=α₁+2α₂的通解为
y=C(2，2，1，-1)^T+(-2，0，0，1)^T(C为任意常数)．

【答案解析】要记住：齐次线性方程Ax=0(其中A是m×n矩阵，x是n维未知列向量)的基础解系中所包含的线性无关的解向量个数为n-r(A)．