问答题
已知4阶方阵A=(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)，α
1
，α
2
，α
3
，α
4
均为4维列向量，其中α
2
，α
3
，α
4
线性无关，α
1
=2α
2
-α
3
．如果β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
，求线性方程组Ax=β的通解．
【正确答案】
【答案解析】解法1 设x=(x
1
，x
2
，x
3
，x
4
)
T
，则由
得 x 1 α 1 +x 2 α 2 +x 3 α 3 +x 4 α 4 =α 1 +α 2 +α 3 +α 4 ，
并将α 1 =2α 2 -α 3 代入上式，整理后得
(2x 1 +x 2 - 3 )α 2 +(-x 1 +x 3 )α 3 +(x 4 -1)α 4 =0．
由于α 2 ，α 3 ，α 4 线性无关，故有
解之得
或以向量形式表示为
解法2 由于α 2 ，α 3 ，α 4 线性无关，α 1 =2α 2 -α 3 ，则r(A)=r(α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 )=3，故Ax=0的基础解系中只有1个解向量，而
所以(1，-2，1，0)
T
是Ax=0的一个基础解系，
而
得 x 1 α 1 +x 2 α 2 +x 3 α 3 +x 4 α 4 =α 1 +α 2 +α 3 +α 4 ，
并将α 1 =2α 2 -α 3 代入上式，整理后得
(2x 1 +x 2 - 3 )α 2 +(-x 1 +x 3 )α 3 +(x 4 -1)α 4 =0．
由于α 2 ，α 3 ，α 4 线性无关，故有
解之得
或以向量形式表示为
解法2 由于α 2 ，α 3 ，α 4 线性无关，α 1 =2α 2 -α 3 ，则r(A)=r(α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 )=3，故Ax=0的基础解系中只有1个解向量，而
所以(1，-2，1，0)
T
是Ax=0的一个基础解系，
而