设f
n
(χ)＝χ＋χ
2
＋…＋χ
n
(n≥2)．
(1)证明方程f
n
(χ)＝1有唯一的正根χ
n
；
(2)求
【正确答案】正确答案：(1)令φ
n
(χ)＝f
n
(χ)－1，因为φ
n
(0)＝－1＜0，φ
n
(1)＝n－1＞0，所以φ
n
(χ)在(0，1)
(0，＋∞)内有一个零点，即方程f
n
(χ)＝1在(0，＋∞)内有一个根． 因为φ′
n
(χ)＝1＋2χ＋…＋nχ
n-1
＞0，所以φ
n
(χ)在(0，＋∞)内单调增加，所以φ
n
(χ)在(0，＋∞)内的零点唯一，所以方程f
n
(χ)＝1在(0，＋∞)内有唯一正根，记为χ
n
． (2)由f
n
(χ
n
)－f
n+1
(χ
n+1
)＝0，得 (χ
n
－χ
n+1
)＋(χ
n
2
－χ
n+1
2
)＋…＋(χ
n
n
－χ
n+1
n
)＝χ
n+1
n+1
＞0， 从而χ
n
＞χ
n+1
，所以{χ
n
}
n＝1
∞
单调减少，又χ
n
＞0(n＝1，2，…)， 故
存在，设
＝A，显然A≤χ
n
≤χ
1
＝1，由χ
n
＋χ
n
2
＋…＋χ
n
n
＝1， 得
＝1，两边求极限得
－1，解得A＝
， 即
(0，＋∞)内有一个零点，即方程f
n
(χ)＝1在(0，＋∞)内有一个根． 因为φ′
n
(χ)＝1＋2χ＋…＋nχ
n-1
＞0，所以φ
n
(χ)在(0，＋∞)内单调增加，所以φ
n
(χ)在(0，＋∞)内的零点唯一，所以方程f
n
(χ)＝1在(0，＋∞)内有唯一正根，记为χ
n
． (2)由f
n
(χ
n
)－f
n+1
(χ
n+1
)＝0，得 (χ
n
－χ
n+1
)＋(χ
n
2
－χ
n+1
2
)＋…＋(χ
n
n
－χ
n+1
n
)＝χ
n+1
n+1
＞0， 从而χ
n
＞χ
n+1
，所以{χ
n
}
n＝1
∞
单调减少，又χ
n
＞0(n＝1，2，…)， 故
存在，设
＝A，显然A≤χ
n
≤χ
1
＝1，由χ
n
＋χ
n
2
＋…＋χ
n
n
＝1， 得
＝1，两边求极限得
－1，解得A＝
， 即
【答案解析】