填空题
13.[2008年] 已知幂级数
an(x+2)n在x=0处收敛，在x=一4处发散，则幂级数
an(x+2)n在x=0处收敛，在x=一4处发散，则幂级数
- 1、
【正确答案】
1、(1，5]
【答案解析】由题设及阿贝尔定理知，当｜x+2｜＜｜0+2｜=2即一4＜x＜0时，幂级数
an(x+2)n收敛．而当｜x+2｜＞｜一4+2｜=2即x＜一4或x＞0时，该幂级数发散．因而其收敛区间为-4＜x＜0．于是其收敛半径为R=[0-(-4)]／2=2．又
an(x+2)n与
anxn有相同的收敛半径，而
anxn当然也与
an(x-3)n有相同的收敛半径．故
an(x+2)n与
an(x-3)n有相同的收敛半径，后者的收敛区间为一2＜x一3＜2，即1＜x＜5．
又当x=0时，x+2=2．令x一3=2，得x=5；当x=一4时，x+2=一2．令x一3=一2，得x=1．
于是幂级数
an(x+2)n在x=0处收敛，相当于幂级数
an(x-2)n在x=5处收敛；而幂级数
an(x+2)n在x=一4处发散，相当于幂级数
an(x-2)n在x=1处发散．故
an(x+2)n收敛．而当｜x+2｜＞｜一4+2｜=2即x＜一4或x＞0时，该幂级数发散．因而其收敛区间为-4＜x＜0．于是其收敛半径为R=[0-(-4)]／2=2．又an(x+2)n与anxn有相同的收敛半径，而anxn当然也与an(x-3)n有相同的收敛半径．故an(x+2)n与an(x-3)n有相同的收敛半径，后者的收敛区间为一2＜x一3＜2，即1＜x＜5．又当x=0时，x+2=2．令x一3=2，得x=5；当x=一4时，x+2=一2．令x一3=一2，得x=1．
于是幂级数
an(x+2)n在x=0处收敛，相当于幂级数an(x-2)n在x=5处收敛；而幂级数an(x+2)n在x=一4处发散，相当于幂级数an(x-2)n在x=1处发散．故