【正确答案】(Ⅰ)方法一：

=(n+1)aⁿ。
方法二：记D_n=｜A｜，下面用数学归纳法证明D_n=(n+1)aⁿ。
当n=1时，D₁=2a，结论成立。
当n=2时，D₂==3a²，结论成立。
假设结论对小于n一1阶行列式的情况成立。将D_n按第一行展开得
D_n=2aD_n-2一
=2aD_n-1一a²D_n-2=2ana^n-1一a²(n—1)a^n-2=(n+1)aⁿ，
故｜A｜=(n+1)aⁿ。
方法三：记D_n=｜A｜，将其按第一列展开得D_n=2aD_n-1一a²D_n-2。所以
D_n一aD_n-1=aD_n-1—a²D_n-2=a(D_n-1一aD_n-2)
=a²(D_n-2一aD_n-3)=…=a^n-2(D₂一aD₁)=aⁿ。
即有
D_n=aⁿ+aD_n-1=aⁿ+a(a^n-1+aD_n-2)=2aⁿ+a²D_n-2
=…=(n一2)aⁿ+a^n-2D₂=(n—1)aⁿ+a^n-1D₁
=(n一1)aⁿ+a^n-1.2a=(n+1)aⁿ。
(Ⅱ)因为方程组有唯一解，所以由Ax=b知｜A｜≠0，又｜A｜=(n+1)aⁿ，故a≠0。
根据克拉默法则，将D_n的第一列换成b，得行列式为

(Ⅲ)方程组有无穷多解，由｜A｜=0，得a=0，则方程组Ax=b为