问答题
设随机变量X的概率密度为f(χ)＝
令随机变量Y＝
令随机变量Y＝
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)Y的分布函数为F
Y
(y)＝P(Y≤y) Y＜1时，F
Y
(y)＝0； y≥2时，F
Y
(y)＝1； 1≤Y＜2时， F
Y
(y)＝P(Y≤y｜X≤1)P(X≤1)＋P(Y≤y｜1＜X＜2)P(1＜X＜2)＋P(Y≤y｜X≥2)P(X≥2) 而P(Y≤y｜X≤1)＝P(2≤y｜X≤1)＝0，P(Y≤y｜X≥2)＝P(1≤y｜X≥2)＝1， P(Y≤y｜1＜X＜2)＝P(X≤y｜1＜X＜2)＝
代入得F
Y
(y)＝P(1＜X≤y)＋P(X＞2) ＝
故F
y
(y)＝
(Ⅱ)P(X≤Y)＝P(X≤Y{X≤1)P(X≤1)＋P(X≤y｜1＜X＜2)P(1＜X＜2)＋P(X≤Y｜X≥2)P(X≥2) 而P(X≤Y｜X≤1)＝P(X≤2｜X≤1)＝
＝1， P(X≤Y｜1＜X＜2)＝P(X≤X{1＜X＜2)＝
＝1， P(X≤Y｜X≥2)＝P(X≤1｜X≥2)＝
＝0， 代入得P(X≤Y)＝P(X≤1)＋P(1＜X＜2)＝P(X＜2)＝
代入得F
Y
(y)＝P(1＜X≤y)＋P(X＞2) ＝
故F
y
(y)＝
(Ⅱ)P(X≤Y)＝P(X≤Y{X≤1)P(X≤1)＋P(X≤y｜1＜X＜2)P(1＜X＜2)＋P(X≤Y｜X≥2)P(X≥2) 而P(X≤Y｜X≤1)＝P(X≤2｜X≤1)＝
＝1， P(X≤Y｜1＜X＜2)＝P(X≤X{1＜X＜2)＝
＝1， P(X≤Y｜X≥2)＝P(X≤1｜X≥2)＝
＝0， 代入得P(X≤Y)＝P(X≤1)＋P(1＜X＜2)＝P(X＜2)＝
【答案解析】