解答题
13.设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y'(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2恒为1，求曲线y=y(x)的方程。
【正确答案】设曲线y=y(x)上的点P(x，y)处的切线方程为
Y—y=y'(X—x)，
它与x轴的交点为(x一
，0)。
由于y'(x)＞0，y(0)=1，因此y(x)＞1(x＞0)。于是
S1=
。
又可得
s2=∫0xy(t)dt。
根据题设2S1一S2=1，有
一∫0xy(t)dt=1。
并且y'(0)=1，两边对x求导并化简得
yy''=(y')2，
这是可降阶的二阶常微分方程，令p(y)=y'，则上述方程可化
=p2，
分离变量得
Y—y=y'(X—x)，
它与x轴的交点为(x一
，0)。由于y'(x)＞0，y(0)=1，因此y(x)＞1(x＞0)。于是
S1=
。又可得
s2=∫0xy(t)dt。
根据题设2S1一S2=1，有
一∫0xy(t)dt=1。并且y'(0)=1，两边对x求导并化简得
yy''=(y')2，
这是可降阶的二阶常微分方程，令p(y)=y'，则上述方程可化
=p2，分离变量得
【答案解析】