问答题
设随机变量X与Y相互独立，均服从参数为1的指数分布．记Z1=min(X，Y)和Z2=max(X，Y)．试求
(Ⅰ)Z1和Z2的密度函数f1(z)和f2(z)；
(Ⅱ)求EZ1和EZ2．
(Ⅰ)Z1和Z2的密度函数f1(z)和f2(z)；
(Ⅱ)求EZ1和EZ2．
【正确答案】X，Y独立，～E(1)，其密度
指数分布有：
记Z1的分布F1(z)，
z≤0，F1(z)=P{Z1≤z}=P{min(X，Y)≤z}=0z＞0时，F1(z)=P{Z1≤z}=P{min(X，Y)≤z}=1-P{min(X，Y)＞z}
=1-P{X＞z，Y＞z)=1-P{X＞z}P{Y＞z}
=1-e-z·e-z=1-e-2x．
所以
现来求Z2的分布F2(z)．
F2(z)=P{Z2≤z}=P{max(X，Y)≤z}=P{X≤z，Y≤z}
=P{X≤z)P{Y≤≤z}=FX(z)FY(z)=F2(z)
(Ⅱ)因Z1～E(2) 故
[评注](Ⅱ)中直接运用公式
记住这公式会很有用．
EZ2的计算也可以方便用公式
指数分布有：
记Z1的分布F1(z)，
z≤0，F1(z)=P{Z1≤z}=P{min(X，Y)≤z}=0z＞0时，F1(z)=P{Z1≤z}=P{min(X，Y)≤z}=1-P{min(X，Y)＞z}
=1-P{X＞z，Y＞z)=1-P{X＞z}P{Y＞z}
=1-e-z·e-z=1-e-2x．
所以
现来求Z2的分布F2(z)．
F2(z)=P{Z2≤z}=P{max(X，Y)≤z}=P{X≤z，Y≤z}
=P{X≤z)P{Y≤≤z}=FX(z)FY(z)=F2(z)
(Ⅱ)因Z1～E(2) 故
[评注](Ⅱ)中直接运用公式
记住这公式会很有用．
EZ2的计算也可以方便用公式
【答案解析】