已知二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=2x
1
2
+3x
2
2
+3x
3
2
+2ax
2
x
3
(a＞0)，若二次型f的标准形为f=y
1
2
+2y
2
2
+5y
3
2
，求a的值及所使用的正交变换矩阵。
【正确答案】正确答案：二次型f的矩阵A=
，特征方程为 ｜λE—A｜=(λ一2)(λ
2
—6λ+9一a
2
)=0， 由标准形可知，A的特征值为λ
1
=1，λ
2
=2，λ
3
=5。将λ=1代入特征方程，得a
2
一4=0，由a＞0可知a=2，此时A=
。 解(λ
i
E—A)x=0，得到特征值λ
i
(i=1，2，3)对应的特征向量分别为α
1
=(0，1，一1)
T
，α
2
=(1，0，0)
T
，α
3
=(0，1，1)
T
。 由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必正交，故只需将α
1
，α
2
，α
3
单位化，
。 故所用的正交变换矩阵为 Q=
，特征方程为 ｜λE—A｜=(λ一2)(λ
2
—6λ+9一a
2
)=0， 由标准形可知，A的特征值为λ
1
=1，λ
2
=2，λ
3
=5。将λ=1代入特征方程，得a
2
一4=0，由a＞0可知a=2，此时A=
。 解(λ
i
E—A)x=0，得到特征值λ
i
(i=1，2，3)对应的特征向量分别为α
1
=(0，1，一1)
T
，α
2
=(1，0，0)
T
，α
3
=(0，1，1)
T
。 由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必正交，故只需将α
1
，α
2
，α
3
单位化，
。 故所用的正交变换矩阵为 Q=
【答案解析】