问答题
求I=
【正确答案】
【答案解析】[分析与求解一] 区域D如图所示．被积函数有奇偶性，积分区域D看起来没有对称性．添加辅助线y=-x
3
(x≥0)，将D分解成：D=D
1
∪D
2
，其中
D 1 ={(x，y)|-1≤x≤0，x 3 ≤y≤-x 3 }，D 1 关于x轴对称，
D 2 ={(x，y)|-1≤x≤1，|x| 3 ≤y≤1}，D 2 关于y轴对称．
又xysin(x 2 +y 2 )对x，y均为奇函数，于是
因此，
[分析与求解二] 直接化成定积分．
这里利用了奇函数在对称区间上的积分性质，即
D 1 ={(x，y)|-1≤x≤0，x 3 ≤y≤-x 3 }，D 1 关于x轴对称，
D 2 ={(x，y)|-1≤x≤1，|x| 3 ≤y≤1}，D 2 关于y轴对称．
又xysin(x 2 +y 2 )对x，y均为奇函数，于是
因此，
[分析与求解二] 直接化成定积分．
这里利用了奇函数在对称区间上的积分性质，即