问答题
(本题满分11分)
设二次型
，
矩阵A满足AB=0，其中
设二次型
，
矩阵A满足AB=0，其中
【正确答案】
【答案解析】解：(Ⅰ)由
知，矩阵B的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量。
记
，则Aα
1
=0=0α
1
，Aα
2
=0=0α
2
。由此可知，λ=0是矩阵A的特征值(至少是二重)，α
1
，α
2
是λ=0的线性无关的特征向量。根据
，有0+0+λ
3
=1+4+1，故知矩阵A有特征值λ=6。因此，矩阵A的特征值是0，0，6。
设λ=6的特征向量为α 3 =(x 1 ,x 2 ,x 3 ) T ，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有
对α 1 ，α 2 正交化，令β 1 =(1，0，1) T ，则
再对β 1 ，β 2 ，α 3 单位化，得
那么经坐标变化x=Qy，即
二次型化为标准形
。
(Ⅱ)因为A～Λ，有A-3e～Λ-3E，进而(A-3E) 6 ～(Λ-3E) 6 。又A-3E～
知，矩阵B的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量。
记
，则Aα
1
=0=0α
1
，Aα
2
=0=0α
2
。由此可知，λ=0是矩阵A的特征值(至少是二重)，α
1
，α
2
是λ=0的线性无关的特征向量。根据
，有0+0+λ
3
=1+4+1，故知矩阵A有特征值λ=6。因此，矩阵A的特征值是0，0，6。
设λ=6的特征向量为α 3 =(x 1 ,x 2 ,x 3 ) T ，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有
对α 1 ，α 2 正交化，令β 1 =(1，0，1) T ，则
再对β 1 ，β 2 ，α 3 单位化，得
那么经坐标变化x=Qy，即
二次型化为标准形
。
(Ⅱ)因为A～Λ，有A-3e～Λ-3E，进而(A-3E) 6 ～(Λ-3E) 6 。又A-3E～