解答题
25.设A、B为3阶相似非零实矩阵，矩阵A=(αij)满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，Aij是aij的代数余子式，矩阵B满足｜E+2B｜=｜E+3B｜=0，则矩阵A*+E可逆，方程组(B-E)x=0没有非零解．
【正确答案】由aij=Aij(i，j=1，2，3)可知，A*=AT．于是
又因为A≠0，不妨假设a11≠0，所以
又由已知，A～B，所以A与B有相同的特征值，且｜B｜=｜A｜=1．
由｜E+2B｜=｜E+3B｜=0，可得B有特征值λ1=-1/2，λ2=-1/3．
设B的另一特征值为λ3，则有
又因为A≠0，不妨假设a11≠0，所以
又由已知，A～B，所以A与B有相同的特征值，且｜B｜=｜A｜=1．
由｜E+2B｜=｜E+3B｜=0，可得B有特征值λ1=-1/2，λ2=-1/3．
设B的另一特征值为λ3，则有
【答案解析】本题主要考查如何求抽象矩阵的特征值．再利用特征值的性质证其结论．