解答题
16.已知3阶矩阵A=
【正确答案】(1)求a．
A的特征多项式为
=(λ-2)(λ2-8λ+18+3a)．
要使得它有二重根，有两种可能的情况：
①2是二重根，即2是λ2-8λ+18+3a的根，即4-16+18+3a=0，求出a=-2，此时三个特征值为2，2，6．
②2是一重根，则λ2-8λ+18+3a有二重根，λ2-8λ+18+3a=(λ-4)2，求出a=-2／3．此时三个特征值为2，4，4．
(2)讨论A是否相似于对角矩阵．
①当a=-2时，对二重特征值2，考察3-r(A-2E)是否为2 7即r(A-2E)是否为1
A-2E=
，r(A-2E)=1，此时A可相似对角化
②当a=-2／3时，对二重特征值4，考察3-r(A-4E)是否为2!即r(A-4E)是否为1
A-4E=
A的特征多项式为
=(λ-2)(λ2-8λ+18+3a)．
要使得它有二重根，有两种可能的情况：
①2是二重根，即2是λ2-8λ+18+3a的根，即4-16+18+3a=0，求出a=-2，此时三个特征值为2，2，6．
②2是一重根，则λ2-8λ+18+3a有二重根，λ2-8λ+18+3a=(λ-4)2，求出a=-2／3．此时三个特征值为2，4，4．
(2)讨论A是否相似于对角矩阵．
①当a=-2时，对二重特征值2，考察3-r(A-2E)是否为2 7即r(A-2E)是否为1
A-2E=
，r(A-2E)=1，此时A可相似对角化②当a=-2／3时，对二重特征值4，考察3-r(A-4E)是否为2!即r(A-4E)是否为1
A-4E=
【答案解析】