填空题
经过两个平面π
1
:x+y+1=0，π
2
:x+2y+2z=0的交线，并且与平面π
3
:2x-y-z=0垂直的平面方程是 1．
【正确答案】
【答案解析】0
[解析]
解法一：
用点法式
设所求平面π的法向量是n={A，B，C}，由于π，π 1 ，π 2 交于一条公共直线，所以法向量n，n 1 ，n 2 ，共面，且因为π⊥π 3 ，所以n·n 3 =0，故不妨设
n=tn 1 +un 2 ，
即有2(t+u)-(t+2u)-2u=0，取t=2，u=1，可得法向量n={3，4，2}，联立π 1 ，π 2 ，求
的交点，得(0，-1，1)是平面π上一点．
从而由点法式得π： 3x+4(y+1)+2(x-1)=0．
解法二： 用混合积
由于n 1 ，n 2 都与平面π 1 ，π 2 的交线垂直，故可取交线的方向向量s为
于是，s和n 3 是平面π上的两个不平行向量，再取平面上一点，例如p 0 (0，-1，1)，那么
n 3 共面，即得平面π的方程为
设所求平面π的法向量是n={A，B，C}，由于π，π 1 ，π 2 交于一条公共直线，所以法向量n，n 1 ，n 2 ，共面，且因为π⊥π 3 ，所以n·n 3 =0，故不妨设
n=tn 1 +un 2 ，
即有2(t+u)-(t+2u)-2u=0，取t=2，u=1，可得法向量n={3，4，2}，联立π 1 ，π 2 ，求
的交点，得(0，-1，1)是平面π上一点．
从而由点法式得π： 3x+4(y+1)+2(x-1)=0．
解法二： 用混合积
由于n 1 ，n 2 都与平面π 1 ，π 2 的交线垂直，故可取交线的方向向量s为
于是，s和n 3 是平面π上的两个不平行向量，再取平面上一点，例如p 0 (0，-1，1)，那么
n 3 共面，即得平面π的方程为