问答题
{{B}}运输问题{{/B}}
1．设有某种商品由3个发运点A1、A2、A3调运到4个收货点B1、B2、B3、B4。3个发运点的发运量分别是4t、10t和8t，4个收货点的收货量分别是8t、5t、3t和6to并已知各点的距离和交通图(见图1)。
问如何调运才能使总的周转量最小。
2．设某种商品的发货点共有三个，收货点共有五个，形成一个环状的线路图(如图2)，各发货点、收货点的供需量及它们之间的距离已给出，问如何规划调运方案，使运输的周转量最小。
3．某种商品有4个供应地和5个需要地，各供应地的供应量、各需要地的需要量以及它们的相对位置如图3所示。问：如何规划运输方案，才能使运输的吨千米最小?
4．有甲乙丙三个商品产地，其可调出量分别是7t、4t和9t，有A、B、C、D四个销售地，调入量分别为3t、6t、5t和6t。总调出量和调入量相同。设运输费用与各地之间的运输距离成正比，其调入调出量和各地之间的运输距离如表20所示，求合理的调运方案及最小吨千米数。
5．某商品的供应地和需要地各有三个。各供应地的供应量如下：A1-10t，A2-7t，A3 -5t。各需要地的需要量分别为：B1-6t，B2-8t，B3-8t。供应地和需要地的单位运价如表21所示。
问：如何规划运输方案才能使运输费用最低?
6．某商品有四个供应地和三个需要地，各供应地的供应量分别为：A1-100t，A2- 65t，A3-35t，A4-240t。各需要地的需要量分别为：B1-80t，B2-160t，B3-200t。各供应地和需要地的单位运价如表22所示。
问：如何规划运输方案，才能使运输费用最低?
7．某商品的供应地和需要地各有四个，各供应地的供应量和需要地的需要量分别为： A1-50t，A2-30t，A3-80t，A4-40t；B1-20t，B2-60t，B3-70t，B4-50t。该商品的单位运价如表23所示。
问：如何规划运输方案，才能使运费最低?
8．某商品的产地和销地位于呈环状的交通线路上，各产地的产量、销地的销量及它们的相对位置如图4所示。问：如何规划运输方案，才能使运输吨千米最小?
9．商品的产地和销地位于呈环状的交通线路上。各产地的产量、销地的销量以及它们的相对位置如图5所示。问：如何规划运输方案，才能使运输吨千米最小?
10．某种商品的供应地有3个：A1-10t，A2-5t，A3-12t；分别供应4个需要地： B1-3t，B2-9t，B3-6t，B4-9t。各供应地与需要地的单位运价如表24所示。
问：如何规划运输方案，才能使运输费用最低?
11．某商品有4个供应地：A1-200t，A2-100t，A3-80t，A4-120t。有4个需要地： B1-70t，B2-180t，B3-130t，B4-120t。各供应地与需要地的单位运价如表25所示。
1．设有某种商品由3个发运点A1、A2、A3调运到4个收货点B1、B2、B3、B4。3个发运点的发运量分别是4t、10t和8t，4个收货点的收货量分别是8t、5t、3t和6to并已知各点的距离和交通图(见图1)。
问如何调运才能使总的周转量最小。
2．设某种商品的发货点共有三个，收货点共有五个，形成一个环状的线路图(如图2)，各发货点、收货点的供需量及它们之间的距离已给出，问如何规划调运方案，使运输的周转量最小。
3．某种商品有4个供应地和5个需要地，各供应地的供应量、各需要地的需要量以及它们的相对位置如图3所示。问：如何规划运输方案，才能使运输的吨千米最小?
4．有甲乙丙三个商品产地，其可调出量分别是7t、4t和9t，有A、B、C、D四个销售地，调入量分别为3t、6t、5t和6t。总调出量和调入量相同。设运输费用与各地之间的运输距离成正比，其调入调出量和各地之间的运输距离如表20所示，求合理的调运方案及最小吨千米数。
5．某商品的供应地和需要地各有三个。各供应地的供应量如下：A1-10t，A2-7t，A3 -5t。各需要地的需要量分别为：B1-6t，B2-8t，B3-8t。供应地和需要地的单位运价如表21所示。
问：如何规划运输方案才能使运输费用最低?
6．某商品有四个供应地和三个需要地，各供应地的供应量分别为：A1-100t，A2- 65t，A3-35t，A4-240t。各需要地的需要量分别为：B1-80t，B2-160t，B3-200t。各供应地和需要地的单位运价如表22所示。
问：如何规划运输方案，才能使运输费用最低?
7．某商品的供应地和需要地各有四个，各供应地的供应量和需要地的需要量分别为： A1-50t，A2-30t，A3-80t，A4-40t；B1-20t，B2-60t，B3-70t，B4-50t。该商品的单位运价如表23所示。
问：如何规划运输方案，才能使运费最低?
8．某商品的产地和销地位于呈环状的交通线路上，各产地的产量、销地的销量及它们的相对位置如图4所示。问：如何规划运输方案，才能使运输吨千米最小?
9．商品的产地和销地位于呈环状的交通线路上。各产地的产量、销地的销量以及它们的相对位置如图5所示。问：如何规划运输方案，才能使运输吨千米最小?
10．某种商品的供应地有3个：A1-10t，A2-5t，A3-12t；分别供应4个需要地： B1-3t，B2-9t，B3-6t，B4-9t。各供应地与需要地的单位运价如表24所示。
问：如何规划运输方案，才能使运输费用最低?
11．某商品有4个供应地：A1-200t，A2-100t，A3-80t，A4-120t。有4个需要地： B1-70t，B2-180t，B3-130t，B4-120t。各供应地与需要地的单位运价如表25所示。
【正确答案】
【答案解析】解：此类问题属于运输问题，可以用线状线路的图上作业法求解。这类图形是指在运输线路中没有回路，规划其合理的调运方案时，只要避免发生对流，便可得到一个最优的运输方案。具体作业步骤如下：
①在图上画出发货点和收货点。用○表示发货点，用□表示收货点，并把发货收货数量标识在上面。各点之间的长度，记在路线旁边，以千米表示。规划商品的运输方向用箭头，并画在前进方向的右边(见图22)。
②规划运输方向时，要按照“先端点由外向里”，就近调拨的原则，来进行各收发点的产销平衡。
按照图上作业法显示的调运方案可知：
总的周转数为(5×5+5×8+1×20+4×6+3×15+4×10)t·km=194t·km
2．解：此类问题属于运输问题，可以用环状线路的图上作业法求解。这类图形是指在运输线路中有一环状回路，规划其合理的调运方案时，避免发生对流和迂回运输，对商品的流向进行规划。在规划时，为便于计算，凡商品流向属于顺时针方向运行的画在圈内，逆时
针方向运行的画在外圈。凡是内圈或外圈的流向总里程小于或等于该圈长的一半时，则是合理的；反之，就是不合理的。运用图上作业法，具体作业见图23。
计算此环状调运方案的总圈长：
总圈长=80+100+120+80+50+40+70+60=600
分别计算内圈和外圈的长度：
内圈长=120+80+60=260＜600÷2=300
外圈长=100+70+40+50=260＜600÷2=300
由于内圈和外圈的长度都小于总圈长的一半，说明图上的调运方案是最优的。如果内外圈之一的长度超过该圈长总长的一半，就是说明出现了不合理运输，需要进行调整。调整的办法为：从超过圈长一半的流向中的最小流量入手，缩短这一流向，延长另一流向，直到两个流向的长度小于或者等于圈长总长的一半为止。
3．解：首先去掉线路最长段A2-B2，按照就近供应的原则规划流向，得出流向图(见图 24)。
检验初始流向图：
L/2=480
L内=350＜L/2
L外=250＜L/2
所以，上述流向图为最优流向图。
产销平衡表见表37。
4．解：此问题的一般模数可以用数学语言来描述为：已知有m个生产地Ai，i=1，2，…，m，其产量分别为ai，有n个销地Bj，j=1，2，…，n，其需要量分别bj，j=1，2，…，n，从Ai到Bj运输单位物资的运价(单价)为Cij，若用xij表示从Ai到Bj的运量，那么在产销平衡的条件下，要求得总运费最小的调运方案，可求解以下数学模型：
这就是运输问题的数学模型。它包含m×n个变量，(m+n)个约束方程。这类问题，可以用表上作业法求解。表上作业法就是运用表格进行运算的一种方法，以此来求得无数产地和销地的商品调运的最小吨千米，即在表上表明某种商品的调出量、调入量和产销运输距离，按照产销平衡的要求，依次选择最近的运输距离，制定合理的调运方案。这种方法适用于商品调运范围广，产销运输路线交错复杂，而用图上作业法不易规划和确定。解的一般步骤为：
①用西北角法则确定初始可行解(见表38)；
②用闭合回路法求出对应每个空格的检验数；
甲A检验数=3-3+2-1=1
甲B检验数=11-10+5-4=2
乙B检验数=9-2+3-10+5-4=1
乙D检验数=8-10+3-2=-1
丙A检验数=7-1+2-3+10-5=10
丙C检验数=10-3+10-5=12
③如每个空格的检验数都不小于零，则停止计算，否则再用闭合回路法调整空格检验数大于零的格，得到新的调运方案，再转到第二步。
由于乙D检验数=-1＜0，故要求乙D空格入基，作表39所示调整，得到新的调运方案(见表40)。
新调运方案的检验数为：
甲A检验数=3-10+8-1=0
甲B检验数=11-10+5-4=2
乙B检验数=9*8+5-4=2
乙C检验数=2-3+10-8=1
丙A检验数=7-1+8-5=9
丙C检验数=10-3+10-5=12
这时所有检验数已经全部大于等于零，方案已达最优，最小周转量为：
(3×5+10×2+1×3+8×1+4×6+5×3) t•km=85t•km
5．解：产销平衡表见表41。
C=(6×1+4×5+7×2+1×7+4×3)元=59元
6．解：产销平衡表见表42。
Ｃ=(80×4+20×12+65×2+35×1+40×10+20×6)元=2325元
7．解：产销平衡表见表43。
C=(50×2+20×9+10×11+20×1+10×4+50×3+40×14) 元=1160元
8．解：产销平衡表见表44。
总运输吨千米=20×30+20×50+10×20+10×40+40×30=3 400
9．解：产销平衡表见表45。
总运输吨千米=100×50+100×110+240×130+20×90=49 000
10．解：首先用最小元素法确定初始方案，得产销平衡表(见表46)。
其次，检验初始方案，用闭回路法或位势法得检验数表(见表47)。
检验数表中的数字都大于零，所以上述方案即为最优。
总运费=(3×2+1×5+6×1+5×3+3×14+9×11) 元=173元
11．解：首先，用最小元素法确定初始方案产销平衡表(见表48)。
由于在产销平衡表中有数字的格不足m+n-1=7，所以需要在任一空格处填“0”，把它当作有数字的格看待，使有数字的格为7个。在本题中，我们在(A2，B3)处填上“0”。
其次，对初始方案进行检验。检验数表见表49。
检验数出现负数，说明初始方案不是最优，需要进行调整。
再次，对初始方案进行调整。产销平衡表见表50。
第四，对调整后的方案进行检验。检验数表见表51。
①在图上画出发货点和收货点。用○表示发货点，用□表示收货点，并把发货收货数量标识在上面。各点之间的长度，记在路线旁边，以千米表示。规划商品的运输方向用箭头，并画在前进方向的右边(见图22)。
②规划运输方向时，要按照“先端点由外向里”，就近调拨的原则，来进行各收发点的产销平衡。
按照图上作业法显示的调运方案可知：
总的周转数为(5×5+5×8+1×20+4×6+3×15+4×10)t·km=194t·km
2．解：此类问题属于运输问题，可以用环状线路的图上作业法求解。这类图形是指在运输线路中有一环状回路，规划其合理的调运方案时，避免发生对流和迂回运输，对商品的流向进行规划。在规划时，为便于计算，凡商品流向属于顺时针方向运行的画在圈内，逆时
针方向运行的画在外圈。凡是内圈或外圈的流向总里程小于或等于该圈长的一半时，则是合理的；反之，就是不合理的。运用图上作业法，具体作业见图23。
计算此环状调运方案的总圈长：
总圈长=80+100+120+80+50+40+70+60=600
分别计算内圈和外圈的长度：
内圈长=120+80+60=260＜600÷2=300
外圈长=100+70+40+50=260＜600÷2=300
由于内圈和外圈的长度都小于总圈长的一半，说明图上的调运方案是最优的。如果内外圈之一的长度超过该圈长总长的一半，就是说明出现了不合理运输，需要进行调整。调整的办法为：从超过圈长一半的流向中的最小流量入手，缩短这一流向，延长另一流向，直到两个流向的长度小于或者等于圈长总长的一半为止。
3．解：首先去掉线路最长段A2-B2，按照就近供应的原则规划流向，得出流向图(见图 24)。
检验初始流向图：
L/2=480
L内=350＜L/2
L外=250＜L/2
所以，上述流向图为最优流向图。
产销平衡表见表37。
4．解：此问题的一般模数可以用数学语言来描述为：已知有m个生产地Ai，i=1，2，…，m，其产量分别为ai，有n个销地Bj，j=1，2，…，n，其需要量分别bj，j=1，2，…，n，从Ai到Bj运输单位物资的运价(单价)为Cij，若用xij表示从Ai到Bj的运量，那么在产销平衡的条件下，要求得总运费最小的调运方案，可求解以下数学模型：
这就是运输问题的数学模型。它包含m×n个变量，(m+n)个约束方程。这类问题，可以用表上作业法求解。表上作业法就是运用表格进行运算的一种方法，以此来求得无数产地和销地的商品调运的最小吨千米，即在表上表明某种商品的调出量、调入量和产销运输距离，按照产销平衡的要求，依次选择最近的运输距离，制定合理的调运方案。这种方法适用于商品调运范围广，产销运输路线交错复杂，而用图上作业法不易规划和确定。解的一般步骤为：
①用西北角法则确定初始可行解(见表38)；
②用闭合回路法求出对应每个空格的检验数；
甲A检验数=3-3+2-1=1
甲B检验数=11-10+5-4=2
乙B检验数=9-2+3-10+5-4=1
乙D检验数=8-10+3-2=-1
丙A检验数=7-1+2-3+10-5=10
丙C检验数=10-3+10-5=12
③如每个空格的检验数都不小于零，则停止计算，否则再用闭合回路法调整空格检验数大于零的格，得到新的调运方案，再转到第二步。
由于乙D检验数=-1＜0，故要求乙D空格入基，作表39所示调整，得到新的调运方案(见表40)。
新调运方案的检验数为：
甲A检验数=3-10+8-1=0
甲B检验数=11-10+5-4=2
乙B检验数=9*8+5-4=2
乙C检验数=2-3+10-8=1
丙A检验数=7-1+8-5=9
丙C检验数=10-3+10-5=12
这时所有检验数已经全部大于等于零，方案已达最优，最小周转量为：
(3×5+10×2+1×3+8×1+4×6+5×3) t•km=85t•km
5．解：产销平衡表见表41。
C=(6×1+4×5+7×2+1×7+4×3)元=59元
6．解：产销平衡表见表42。
Ｃ=(80×4+20×12+65×2+35×1+40×10+20×6)元=2325元
7．解：产销平衡表见表43。
C=(50×2+20×9+10×11+20×1+10×4+50×3+40×14) 元=1160元
8．解：产销平衡表见表44。
总运输吨千米=20×30+20×50+10×20+10×40+40×30=3 400
9．解：产销平衡表见表45。
总运输吨千米=100×50+100×110+240×130+20×90=49 000
10．解：首先用最小元素法确定初始方案，得产销平衡表(见表46)。
其次，检验初始方案，用闭回路法或位势法得检验数表(见表47)。
检验数表中的数字都大于零，所以上述方案即为最优。
总运费=(3×2+1×5+6×1+5×3+3×14+9×11) 元=173元
11．解：首先，用最小元素法确定初始方案产销平衡表(见表48)。
由于在产销平衡表中有数字的格不足m+n-1=7，所以需要在任一空格处填“0”，把它当作有数字的格看待，使有数字的格为7个。在本题中，我们在(A2，B3)处填上“0”。
其次，对初始方案进行检验。检验数表见表49。
检验数出现负数，说明初始方案不是最优，需要进行调整。
再次，对初始方案进行调整。产销平衡表见表50。
第四，对调整后的方案进行检验。检验数表见表51。