单选题
已知(X，Y)服从二维正态分布，且
EX=μ1，EY=μ2，DX=DY=σ2，
ξ=aX+bY，η=aX-bY(ab≠0)，
则ξ与η独立的充要条件是
(A) a、b为任意实数． (B) a=b-1．
(C) a2=62． (D) a=b+1．
EX=μ1，EY=μ2，DX=DY=σ2，
ξ=aX+bY，η=aX-bY(ab≠0)，
则ξ与η独立的充要条件是
(A) a、b为任意实数． (B) a=b-1．
(C) a2=62． (D) a=b+1．
【正确答案】
C
【答案解析】[解析] 由于对任意常数c，d(c、d不全为0)，有
cξ+dη=c(aX+bY)+d(aX-bY)=a(c+d)X+b(c-d)Y
服从一维正态分布，所以(ξ，η)服从二维正态分布．因此
ξ与η独立
ξ与η不相关cov(ξ，η)=0
cov(aX+bY，aX-bY)
=a2cov(X，X)+abcov(Y，X)-abcov(X，Y)-b2cov(Y，Y)
=a2DX-b2DY=σ2(a2-b2)=0
cξ+dη=c(aX+bY)+d(aX-bY)=a(c+d)X+b(c-d)Y
服从一维正态分布，所以(ξ，η)服从二维正态分布．因此
ξ与η独立
ξ与η不相关cov(ξ，η)=0cov(aX+bY，aX-bY)=a2cov(X，X)+abcov(Y，X)-abcov(X，Y)-b2cov(Y，Y)
=a2DX-b2DY=σ2(a2-b2)=0