设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A
2
=A(A称为幂等阵)．
求：
问答题
二次型X
T
AX的标准形；
【正确答案】正确答案：因为A
2
=A，所以｜A｜｜E—A｜=0，即A的特征值为0或者1，因为A为实对称矩阵，所以A可对角化，由r(A)=r得A的特征值为λ=1(r重)，λ=0(n－r重)，则二次型X
T
AX的标准形为y
1
2
+y
2
2
＋…+y
r
2
．
【答案解析】
问答题
｜E＋A+A
2
+…+A
n
｜的值．
【正确答案】正确答案：令B=E+A+A
2
+…+A
n
，则B的特征值为λ=n+1(r重)，λ=1(n一r重)，故｜E+A+A
2
＋…+A
n
｜=｜B｜=(n＋1)
r
．
【答案解析】