【正确答案】正确答案：将原方程改写为 f(χ)＝χsinχ－χ∫ ₀ ^χ f(t)dt＋∫ ₀ ^χ tf(t)dt． 因为f(χ)连续，所以方程的右端是可微的，因而左端的函数f(χ)也可微．两端对χ求导，又原式中令χ＝0，则原方程等价于 f′(χ)＝χcosχ＋sinχ－∫ ₀ ^χ f(t)dt，f(0)＝0． (6．7) 同理，方程右端仍可微，所以f(χ)存在二阶导数，再将(6．7)中的方程两边求导，并令χ＝0，则得(6．7)等价于 f〞(χ)＝－χsinχ＋2cosχ－f(χ)，f′(0)＝0，f(0)＝0． 即y＝f(χ)满足微分方程的初值问题 y〞＋y＝－χsinχ＋2cosχ，y(0)＝0，y′(0)＝0． (6．8) 由于此方程的特征根为±i，所以其特解应具形式y〞(χ)＝χ(Aχ＋B)cosχ＋χ(Cχ＋D)sinχ．代入方程，求出系数A，B，C，D，则得其特解y ^* (χ)＝ χsinχ，进而方程的通解为 y＝f(χ)＝ χsinχ＋C ₁ cosχ＋C ₂ sinχ (6．9) 由f(0)＝0可知C ₁ ＝0，而由f′(0)＝0又可推出C ₂ ＝0，所以f(χ)＝