解答题
设A为三阶实对称矩阵，且满足关系式A2+2A=0，已知A的秩r(A)=2．
问答题
求A的全部特征值；
【正确答案】
【答案解析】[解]设λ为A的一个特征值，对应的特征向量为α，则
Aα=λα， (α≠0)，A2α=λ2α．
于是 (A2+2A)α=(λ2+2λ)α．
由条件A2+2A=0推知(λ2+2λ)α=0．
又由于α≠0，故有λ2+2λ=0，解得λ=-2，λ=0．
因为A为实对称矩阵，必可对角化，且r(A)=2，所以
Aα=λα， (α≠0)，A2α=λ2α．
于是 (A2+2A)α=(λ2+2λ)α．
由条件A2+2A=0推知(λ2+2λ)α=0．
又由于α≠0，故有λ2+2λ=0，解得λ=-2，λ=0．
因为A为实对称矩阵，必可对角化，且r(A)=2，所以
问答题
当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．
【正确答案】
【答案解析】[解]矩阵A+kE仍为实对称矩阵．由上小题知，A+kE的全部特征值为-2+k，-2+k，k．于是，当k＞2时，矩阵A+kE的全部特征值大于零，此时矩阵A+kE为正定矩阵．