解答题
3.设3阶方阵A的特征值为2，-1，0，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，若B=A3-2A2+4E，试求B-1的特征值与特征向量．
【正确答案】B=f(A)，其中f(x)=x3-2x2+4．由Aα1=2α1，两端左乘A，得A2α1=2Aα1，将Aα1=2α1代入，得A2α1=22α1=4α1，类似可得A2α1=23α1=8α1，
Bα1=(A3-2A2+4E)α1=A3α1-2A2α1+4α1=23α1-2.22α1+4α1=(23-2.22+4)α1=f(2)α1=4α1，类似可得Bα2=f(-1)α2=α2，Bα3=f(0)α3=4α3，所以，B的特征值为4，1，4，对应特征向量分别为α1，α2，α3．因为α1，α2，α3线性无关，所以矩阵P=[α1，α2，α3]可逆，且有P-1BP=
为对角矩阵，两端取逆矩阵，得P-1B-1P=
，由此知B-1的特征值为
Bα1=(A3-2A2+4E)α1=A3α1-2A2α1+4α1=23α1-2.22α1+4α1=(23-2.22+4)α1=f(2)α1=4α1，类似可得Bα2=f(-1)α2=α2，Bα3=f(0)α3=4α3，所以，B的特征值为4，1，4，对应特征向量分别为α1，α2，α3．因为α1，α2，α3线性无关，所以矩阵P=[α1，α2，α3]可逆，且有P-1BP=为对角矩阵，两端取逆矩阵，得P-1B-1P=，由此知B-1的特征值为【答案解析】