设随机变量X与Y相互独立，且都服从[0，1]上的均匀分布，试求：
(Ⅰ)U=XY的概率密度f
U
(u)；
(Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度f
V
(υ)。
【正确答案】正确答案：根据X与Y相互独立且密度函数已知，因此可以用两种方法：分布函数法和公式法求出U、V的概率密度。 (Ⅰ)分布函数法。根据题设知(X，Y)联合概率密度 f(x，y)=f
X
(x)f
Y
(y)=
所以U=XY的分布函数为(如图3—3—9所示) F
U
(u)=P{XY≤u}=
(1)当u≤0时，F
U
(u)=0；当u≥1时，F
U
(u)=1； (2)当0＜u＜1时， F
U
(u)=∫
0
u
dx∫
0
1
dy+∫
u
1
dx
dy=u+∫
u
1
dx=u—ulnu。 综上得
(Ⅱ)公式法。设Z=X—Y=X+(一Y)。其中X与(一Y)独立，概率密度分别为
根据卷积公式得Z的概率密度 f
Z
(z)=∫
—∞
+∞
f
X
(z—y)f
—Y
(y)dy=∫
—1
0
f
X
(z—y)dy
V=|X—Y|=|Z|的分布函数为F
V
(υ)=P{|Z|≤υ}，可得 当υ≤0时，F
V
(υ)=0；当υ＞0时，F
V
(υ)=P{一υ≤Z≤υ}=∫
—υ
u
f
Z
(z)dz。 由此知，当0＜υ＜1时， F
V
(υ)=∫
—υ
0
(z+1)dz+∫
0
u
f
Z
(1一z)dz=2υ一υ
2
； 当υ≥1时， F
V
(υ)=∫
—υ
—1
f
Z
0dz+∫
—1
0
f
Z
(z+1)dz+∫
0
1
(1一z)dz+∫
1
0
0dz=l F
V
(υ)=∫
—υ
—1
0dz+∫
—1
0
(z+1)dz+∫
0
1
(一z)dz+∫
1
υ
0dz=1。 综上可得
所以U=XY的分布函数为(如图3—3—9所示) F
U
(u)=P{XY≤u}=
(1)当u≤0时，F
U
(u)=0；当u≥1时，F
U
(u)=1； (2)当0＜u＜1时， F
U
(u)=∫
0
u
dx∫
0
1
dy+∫
u
1
dx
dy=u+∫
u
1
dx=u—ulnu。 综上得
(Ⅱ)公式法。设Z=X—Y=X+(一Y)。其中X与(一Y)独立，概率密度分别为
根据卷积公式得Z的概率密度 f
Z
(z)=∫
—∞
+∞
f
X
(z—y)f
—Y
(y)dy=∫
—1
0
f
X
(z—y)dy
V=|X—Y|=|Z|的分布函数为F
V
(υ)=P{|Z|≤υ}，可得 当υ≤0时，F
V
(υ)=0；当υ＞0时，F
V
(υ)=P{一υ≤Z≤υ}=∫
—υ
u
f
Z
(z)dz。 由此知，当0＜υ＜1时， F
V
(υ)=∫
—υ
0
(z+1)dz+∫
0
u
f
Z
(1一z)dz=2υ一υ
2
； 当υ≥1时， F
V
(υ)=∫
—υ
—1
f
Z
0dz+∫
—1
0
f
Z
(z+1)dz+∫
0
1
(1一z)dz+∫
1
0
0dz=l F
V
(υ)=∫
—υ
—1
0dz+∫
—1
0
(z+1)dz+∫
0
1
(一z)dz+∫
1
υ
0dz=1。 综上可得
【答案解析】