解答题
20.[2017年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2x12－x22+ax32+2x1x2－8x1x3+2x2x3在正交变换X=QY下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．
【正确答案】(1)
令
则f(x1，x2，x3)=XTAX．
由于标准形为λ1y12+λ2y22，可知矩阵A有零特征值，即λ3=0，故|A|=0，即
解得a=2．
(2)由
得λ1=3，λ2=6，λ3=0．
当λ1=－3时，
得λ1=－3对应的线性无关的特征向量为
当λ2=6时，
得λ26对应的线性无关的特征向量
由
得λ3=0对应的线性无关的特征向量
规范化得
故正交矩阵
令则f(x1，x2，x3)=XTAX．由于标准形为λ1y12+λ2y22，可知矩阵A有零特征值，即λ3=0，故|A|=0，即
解得a=2．(2)由
得λ1=3，λ2=6，λ3=0．当λ1=－3时，
得λ1=－3对应的线性无关的特征向量为当λ2=6时，
得λ26对应的线性无关的特征向量由
得λ3=0对应的线性无关的特征向量规范化得
故正交矩阵
【答案解析】