问答题
f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得
f'(ξ)=2∫
0
1
f(x)dx．
【正确答案】正确答案：因为f'(x)在[0，1]上连续，所以，f'(x)在[0，1]上有最小值和最大值，设为m，M，即存在x
1
，x
2
∈[0，1]，使f'(x
1
)=m，f'(x
2
)=M． 由积分中值定理，对任意x∈[0，1]，存在η∈(0，x)，使∫
0
x
f'(x)dx=f'(η)x，即f(x)=f(x)－f(0)=f'(η)x，于是有 f'(x
1
)x=Mx≤f(x)=f(x)－f(0)=f'(η)x≤Mx=f'(x
2
)x， 两边在[0，1]上积分得 f'(x
1
)∫
0
1
xdx≤∫
0
1
f(x)dx≤f'(x
2
)∫
0
1
xdx， 即
f'(x
1
)≤∫
0
1
f(x)dx≤
f'(x
2
)，即f'(x
1
)≤2∫
0
1
f(x)dx≤f'(x
2
)． 因为f'(x)在[0，1]上连续，由介值定理，必有ξ∈[x
1
，x
2
]
[0，1]，或ξ∈[x
2
，x
1
]
f'(x
1
)≤∫
0
1
f(x)dx≤
f'(x
2
)，即f'(x
1
)≤2∫
0
1
f(x)dx≤f'(x
2
)． 因为f'(x)在[0，1]上连续，由介值定理，必有ξ∈[x
1
，x
2
]
[0，1]，或ξ∈[x
2
，x
1
]
【答案解析】