【正确答案】 将待证的不等式的右边移至左边作辅助函数，用单调性证其成立．若一阶导数的符号不好确定，可继续求高阶导数，直到导数符号确定为止．
证 令f(x)=xln+cosx一1一(一1＜x＜1)．因ln=ln(1+x)一
ln(1一x)为奇函数(自变量带相反符号的两同名函数之差为奇函数)，故xln为偶函数．
因而f(x)为偶函数，故只需讨论x≥0的情况即可．又
f′(x)=ln—sinx—x
=lnsinx—x(0≤x＜1)，
其正、负符号不好确定．下面再求二阶导数：
f″(x)=—cosx—1
=一cosx一1
=一cosx一1 (0≤x＜1)．
因0≤x＜1，(1一x²)²＜l，故4／(1一x²)²＞4，所以f″(x)＞0(0≤x＜1)．于是当x∈[0，1)时，f″(x)＞0，从而f′(x)单调增加，则f′(x)＞f′(0)=0．所以当0≤x＜1时，
f(x)单调增加，即f(x)≥f(0)=0．于是当一1＜x＜l时，有f(x)≥0，即xln+cosx≥l+