计算题
16.设矩阵A可逆，且A的每一行元素之和均等于常数a，试证：(1)a≠0；
(2)A-1的每行元素之和都等于
(2)A-1的每行元素之和都等于
【正确答案】
若a=0，则|A|=0，与A可逆矛盾．故a≠0。
(2)令A=(α1，α2，…αn)，A-1=(β1，β2，…βn)，E=(e1，e2，…，en)
因为A-1A=E，所以有A-1αj=ej(j=1，2，…n)
于是A-1α1+A-1α2+…+A-1αn=A-1(α1+α2+…+αn)=e1+e2+…+en，
若a=0，则|A|=0，与A可逆矛盾．故a≠0。
(2)令A=(α1，α2，…αn)，A-1=(β1，β2，…βn)，E=(e1，e2，…，en)
因为A-1A=E，所以有A-1αj=ej(j=1，2，…n)
于是A-1α1+A-1α2+…+A-1αn=A-1(α1+α2+…+αn)=e1+e2+…+en，
【答案解析】