问答题
(本题满分11分)
设有非齐次线性方程组
设有非齐次线性方程组
【正确答案】
【答案解析】(Ⅰ)记
由题设可知β 1 ，β 2 ，β 3 均为Ax=b的解．又r(B)=2，即r(β 1 ，β 2 ，β 3 )=2，不妨设β 1 ，β 2 线性无关，于是β 1 -β 2 ≠0是方程组Ax=0的解，即齐次方程组Ax=0有非零解，故
由
得同解方程组为
从而方程组的通解为
其中C是任意常数．
(Ⅱ)由题设条件可知，
Aβ 1 =b，Aβ 2 =b，Aβ 3 =b，将上述三个向量等式合并成一个矩阵等式，得
(Aβ1，Aβ2，Aβ3)=(b，b，b)，即A(β1，β2，β3)=(b，b，b)．从而有
由题设可知β 1 ，β 2 ，β 3 均为Ax=b的解．又r(B)=2，即r(β 1 ，β 2 ，β 3 )=2，不妨设β 1 ，β 2 线性无关，于是β 1 -β 2 ≠0是方程组Ax=0的解，即齐次方程组Ax=0有非零解，故
由
得同解方程组为
从而方程组的通解为
其中C是任意常数．
(Ⅱ)由题设条件可知，
Aβ 1 =b，Aβ 2 =b，Aβ 3 =b，将上述三个向量等式合并成一个矩阵等式，得