问答题
求抛物线y=x
2
和直线x-y-2=0之间的最短距离．
【正确答案】
【答案解析】设y=x
2
上的点为(x，y)，直线x-y-2=0上的点为(ξ，η)，则抛物线与直线之间的距离为
，d
2
=(x-ξ)
2
+(y-η)
2
．
构造拉格朗日函数
F(x，y，ξ，η)=(x-ξ) 2 +(y-η) 2 +λ(y-x 2 )+μ(ξ-η-2)，
式①+式③有-2xλ+μ=0，
式②+式④有λ-μ=0，μ=λ．
所以
又有-2x+2ξ+μ=0，-2y+2η-μ=0，则
又因为ξ=η+2，所以
所以抛物线与直线之间的最短距离
，d
2
=(x-ξ)
2
+(y-η)
2
．
构造拉格朗日函数
F(x，y，ξ，η)=(x-ξ) 2 +(y-η) 2 +λ(y-x 2 )+μ(ξ-η-2)，
式①+式③有-2xλ+μ=0，
式②+式④有λ-μ=0，μ=λ．
所以
又有-2x+2ξ+μ=0，-2y+2η-μ=0，则
又因为ξ=η+2，所以
所以抛物线与直线之间的最短距离