问答题
设A、B为三阶相似非零实矩阵，矩阵A=(aij)满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，Aij为aij的代数余子式，矩阵B满足|E+2B|=|E+3B|=0，计算行列式|A*B-A*+B-E|的值．
【正确答案】[详解] 由aij=Aij知AT=A*，
所以AAT=AA*=|A|E，
得 |A|2=|A|3，
所以 |A|=0 或 |A|=1．
因为 A≠0，不妨假定a11≠0，
所以 |A|=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132≠0，所以 |A|=1．
因为A相似于B，所以A，B有相同的特征值λ1，λ2，λ3．
由|E+2B|=|E+3B|=0知
，λ1λ2λ3=|A|．所以 λ3=6，
|A*B-A*+B-E|=|(A*+E)(B-E)|=|A*+E||B-E|=|AT+E||B-E|．
因为 |AT+E|=|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)(λ3+1)=
|B-E|=(λ1-1)(λ2-1)(λ3-1)=
所以 |A*B-A*+B-E|=|AT+E||B-E|=
所以AAT=AA*=|A|E，
得 |A|2=|A|3，
所以 |A|=0 或 |A|=1．
因为 A≠0，不妨假定a11≠0，
所以 |A|=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132≠0，所以 |A|=1．
因为A相似于B，所以A，B有相同的特征值λ1，λ2，λ3．
由|E+2B|=|E+3B|=0知
，λ1λ2λ3=|A|．所以 λ3=6，|A*B-A*+B-E|=|(A*+E)(B-E)|=|A*+E||B-E|=|AT+E||B-E|．
因为 |AT+E|=|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)(λ3+1)=
|B-E|=(λ1-1)(λ2-1)(λ3-1)=
所以 |A*B-A*+B-E|=|AT+E||B-E|=
【答案解析】[分析] 由|A*B-A*+B-E|=|A*(B-E)+(B-E)|=|A*+E|·|B-E|知，只需计算|A*+E|及|B-E|，问题即可解决．
[评注] 本题综合考查了矩阵运算、行列式按行(列)展开定理及利用特征值求行列式等多个知识点．
[评注] 本题综合考查了矩阵运算、行列式按行(列)展开定理及利用特征值求行列式等多个知识点．