已知三元二次型X
T
AX经正交变换化为2y
1
2
一y
2
2
一y
3
2
，又知矩阵B满足矩阵方程
【正确答案】正确答案：由条件知A的特征值为2，一1，一1，｜A｜=2，因为A
*
的特征值为
，所以A
*
的特征值为1，-2，-2，由已知，α是A
*
关于λ=1的特征向量，也就是α是A关于λ=2的特征向量．由
得2ABA
-1
=2AB+4E→B=2(E一A)
-1
，则B的特征值为一2，1，1，且Bα=一2α．设B关于λ=1的特征向量为β=[x
1
，x
2
,x
3
]
T
，又B是实对称阵，β与β正交，故x
1
+x
2
一x
3
=0，解出β
1
=[1，-1，0]
T
，β
2
=[1，0，1]
T
，令
，所以A
*
的特征值为1，-2，-2，由已知，α是A
*
关于λ=1的特征向量，也就是α是A关于λ=2的特征向量．由
得2ABA
-1
=2AB+4E→B=2(E一A)
-1
，则B的特征值为一2，1，1，且Bα=一2α．设B关于λ=1的特征向量为β=[x
1
，x
2
,x
3
]
T
，又B是实对称阵，β与β正交，故x
1
+x
2
一x
3
=0，解出β
1
=[1，-1，0]
T
，β
2
=[1，0，1]
T
，令
【答案解析】