填空题
三元二次型χ
T
Aχ经正交变换χ=Qy化为标准形
【正确答案】
【答案解析】
[解析] 求正交变换Q就是求矩阵A的特征向量，而二次型矩阵A是实对称矩阵，实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故可设矩阵A属于特征值λ=2的特征向量是X=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
．
于是
由于Q是正交矩阵，现在α 2 ，α 3 不正交，故需Schmidt正交化．
令β 1 =α 2 =(-1，1，0) T ，则有
再单位化，得
，
[解析] 求正交变换Q就是求矩阵A的特征向量，而二次型矩阵A是实对称矩阵，实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故可设矩阵A属于特征值λ=2的特征向量是X=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
．
于是
αTX=x1+x2-2x3=0
解出α
2
=(-1，1，0)
T
，α
3
=(2，0，1)
T
由于Q是正交矩阵，现在α 2 ，α 3 不正交，故需Schmidt正交化．
令β 1 =α 2 =(-1，1，0) T ，则有
，