单选题
1.以下三个命题：
①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A；
②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A；
③若数列{x2n}与{x2n1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A．
正确的个数为 ( )
①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A；
②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A；
③若数列{x2n}与{x2n1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A．
正确的个数为 ( )
【正确答案】
D
【答案解析】对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列{un}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n＞N时，恒有｜un－A｜＜ε．
可知当ni＞N时，恒有｜un－A｜＜ε．
因此数列{uni}也收敛于A，可知命题正确．
对于命题②，不妨设数列{xn}为单调增加的，即
x1≤x2≤…≤xn≤…，
其中某一给定子数列{xni}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当niεN时，恒有
｜xni－A｜＜ε．
由于数列{xn}为单调增加的数列，对于任意的n＞N，必定存在ni≤n≤ni+1，有
－ε＜xni－A≤xn－A≤xni+1－A＜ε，
从而
｜xn－A｜＜ε．
可知数列{xn}收敛于A．因此命题正确．
对于命题③，因
，由极限的定义可知，对于任意给定的ε＞0，必定存在
自然数N1，N2：
当2n＞N1时，恒有｜x2n－A｜＜ε；
当2n+1＞N2时，恒有｜x2n+1－A｜＜ε．
取N=max{N1，N2)，则当n＞N时，总有｜xn－A｜＜ε，因此
可知当ni＞N时，恒有｜un－A｜＜ε．
因此数列{uni}也收敛于A，可知命题正确．
对于命题②，不妨设数列{xn}为单调增加的，即
x1≤x2≤…≤xn≤…，
其中某一给定子数列{xni}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当niεN时，恒有
｜xni－A｜＜ε．
由于数列{xn}为单调增加的数列，对于任意的n＞N，必定存在ni≤n≤ni+1，有
－ε＜xni－A≤xn－A≤xni+1－A＜ε，
从而
｜xn－A｜＜ε．
可知数列{xn}收敛于A．因此命题正确．
对于命题③，因
，由极限的定义可知，对于任意给定的ε＞0，必定存在自然数N1，N2：
当2n＞N1时，恒有｜x2n－A｜＜ε；
当2n+1＞N2时，恒有｜x2n+1－A｜＜ε．
取N=max{N1，N2)，则当n＞N时，总有｜xn－A｜＜ε，因此