设函数f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)上二阶可导，且f(a)＝0，f(b)＞0，f′
＋
(a)＜0。证明：
(Ⅰ)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)＝0；
(Ⅱ)在(a，b)内至少存在一点η，使得f〞(η)＞0。
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)f′
＋
(a)＝
＜0 由极限的保号性知，存在δ＞0，当χ∈(a，a＋δ)时，
＜0，从而f(χ)＜0。 取C∈(a，a＋δ)，则f(c)＜0，于是f(χ)在[c，b]上连续。又f(c)＜0，f(b)＞0，由零点定理知，存在ξ∈(c，b)
(a，b)，使得f(ξ)＝0。 (Ⅱ)对f(χ)在[a，c]，[c，b]上用拉格朗日中值定理，存在r∈(a，c)，s∈(c，b)使得
再对f′(χ)在[r，s]上用拉格朗日中值定理，存在η∈(r，s)
(a，b)，使得 f〞(η)＝
＜0 由极限的保号性知，存在δ＞0，当χ∈(a，a＋δ)时，
＜0，从而f(χ)＜0。 取C∈(a，a＋δ)，则f(c)＜0，于是f(χ)在[c，b]上连续。又f(c)＜0，f(b)＞0，由零点定理知，存在ξ∈(c，b)
(a，b)，使得f(ξ)＝0。 (Ⅱ)对f(χ)在[a，c]，[c，b]上用拉格朗日中值定理，存在r∈(a，c)，s∈(c，b)使得
再对f′(χ)在[r，s]上用拉格朗日中值定理，存在η∈(r，s)
(a，b)，使得 f〞(η)＝
【答案解析】