(I)设f(x)在(一∞，+∞)上连续，证明f(x)是以l(＞0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞，+∞)恒有∫
a
a＋l
f(x)dx=∫
0
l
f(x)dx。
(Ⅱ)计算∫
0
2π
【正确答案】正确答案：(I)证明： 必要性： 设φ(a)=∫
a
a＋l
f(x)dx一∫
0
l
f(x)dx，由题设 φ
'
(a)=f(a+l)一f(a)=0， 则φ(a)=c(常数)。 设a=0，则c=φ(0)=0，那么∫
a
a＋l
f(x)dx=∫
0
l
f(x)dx。 充分性： 在∫
a
a＋l
f(x)dx=∫
0
l
f(x)dx两边对a求导，得f(a+l)一f(a)=0，故f(x)以l为周期。 (Ⅱ)利用上述性质，将原区间变换成对称区间，从而利于使用函数的奇偶性，于是
在上式第2项中作变量替换x=π一t，即可化为第1项，故
在上式第2项中作变量替换x=π一t，即可化为第1项，故
【答案解析】