解答题
7.设二次型
f=x12+x22+x32+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3
经正交变换x=Py化成f=y22+2y32，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵．试求常数α，β.
f=x12+x22+x32+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3
经正交变换x=Py化成f=y22+2y32，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵．试求常数α，β.
【正确答案】二次型f(x1，x2，x3)的矩阵为
因为P为正交矩阵，所以
即A与B相似，故A与B有相同的特征值λ1=0，λ2=1，λ3=2，这些特征值满足|λE-A|=0．
当λ1=0，则
当λ2=1，则
因为P为正交矩阵，所以
即A与B相似，故A与B有相同的特征值λ1=0，λ2=1，λ3=2，这些特征值满足|λE-A|=0．
当λ1=0，则
当λ2=1，则
【答案解析】