解答题
13.设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinx dx=0．证明：存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=0．
【正确答案】令F(x)=∫0xf(t)sintdt，因为F(0)=F(π)=0，所以存在x1∈(0，π)，使得
F’(x1)=0，即f(x1)sinx1=0，又因为sinx1≠0，所以f(x1)=0．
设x1是f(x)在(0，π)内唯一的零点，则当x∈(0，π)且x≠x1时，有sin(x—x1)f(x)恒正或恒负，于是∫0πsin(x—x1)f(x)dx≠0．
而∫0πsin(x—x1)f(x)dx=cosx1∫0πf(x)sinxdx—sinx1∫0πf(x)cosxdx=0，矛盾，所以f(x)在(0，π)内至少有两个零点．不妨设f(x1)=f(x2)=0，x1，x2∈(0，π)且x1＜x2，由罗尔中值定理，存在ξ∈(x1，x2)
F’(x1)=0，即f(x1)sinx1=0，又因为sinx1≠0，所以f(x1)=0．
设x1是f(x)在(0，π)内唯一的零点，则当x∈(0，π)且x≠x1时，有sin(x—x1)f(x)恒正或恒负，于是∫0πsin(x—x1)f(x)dx≠0．
而∫0πsin(x—x1)f(x)dx=cosx1∫0πf(x)sinxdx—sinx1∫0πf(x)cosxdx=0，矛盾，所以f(x)在(0，π)内至少有两个零点．不妨设f(x1)=f(x2)=0，x1，x2∈(0，π)且x1＜x2，由罗尔中值定理，存在ξ∈(x1，x2)
【答案解析】