设二次型f＝2χ
1
2
＋2χ
2
2
＋aχ
3
2
＋2χ
1
χ
2
＋2bχ
1
χ
3
＋2χ
2
χ
3
经过正交变换X＝QY化为标准形f＝y
1
2
y
2
2
＋4y
3
2
，求参数a，b及正交矩阵Q．
【正确答案】正确答案：二次型f＝2χ
1
2
＋2χ
2
2
＋aχ
3
3
＋2χ
1
χ
3
＋2bχ
1
χ
3
＋2χ
2
χ
3
的矩阵形式为 f＝X
T
AX 其中
因为Q
T
AQ＝B＝
，所以A～B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1，1，4． 而｜λE－A｜＝λ
3
－(a＋4)λ
2
＋(4a－b
2
＋2)λ＋(－3a－2b＋2b
2
＋2)，所以有 λ
3
－(a＋4)λ
2
＋(4a－b
2
＋2)λ＋(－3a－2b＋2b
2
＋2)＝(λ－1)
2
(λ－4)， 解得a＝2，b＝1．当λ
1
＝λ
2
＝1时，由(E－A)X＝0得
由λ
3
＝4时，由(4E－A)X＝0得ξ
3
＝
． 显然ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
两两正交．单位化为
因为Q
T
AQ＝B＝
，所以A～B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1，1，4． 而｜λE－A｜＝λ
3
－(a＋4)λ
2
＋(4a－b
2
＋2)λ＋(－3a－2b＋2b
2
＋2)，所以有 λ
3
－(a＋4)λ
2
＋(4a－b
2
＋2)λ＋(－3a－2b＋2b
2
＋2)＝(λ－1)
2
(λ－4)， 解得a＝2，b＝1．当λ
1
＝λ
2
＝1时，由(E－A)X＝0得
由λ
3
＝4时，由(4E－A)X＝0得ξ
3
＝
． 显然ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
两两正交．单位化为
【答案解析】