设A，B为三阶矩阵，且AB＝A－B，若λ
1
，λ
2
，λ
3
为A的三个不同的特征值，证明：
(1)AB＝BA；
(2)存在可逆矩阵P，使得P
-1
AP，P
-1
BP同时为对角矩阵．
【正确答案】正确答案：(1)由AB＝A－B得A－B－AB＋E＝E，(E＋A)(E－B)＝E， 即E－B与E＋A互为逆矩阵，于是(E－B)(E＋A)＝E＝(E＋A)(E－B)， 故AB＝BA． (2)因为A有三个不同的特征值λ
1
，λ
2
，λ
3
，所以A可以对角化，设A的三个线性无关的特征向量为ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
，则有A(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)＝(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)diag(λ
1
，λ
2
，λ
3
)， BA(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)＝B(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)diag(λ
1
，λ
2
，λ
3
)， AB(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)＝B(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)diag(λ
1
，λ
2
，λ
3
)，于是有ABξ
i
＝λ
i
βξ
i
＝1，2，3． 若Bξ
i
≠0，则Bξ
i
是A的属于特征值λ
i
的特征向量，又λ
i
为单根，所以有Bξ
i
＝μ
i
ξ
i
； 若Bξ
i
＝0，则ξ
i
是B的属于特征值。的特征向量．无论哪种情况，B都可以对角化，而且ξ
i
是B的特征向量，因此，令P＝(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)，则P
-1
AP，P
-1
BP同为对角阵．
【答案解析】