【正确答案】利用题设条件先求出A的部分特征值及其特征向量．再利用命题2．5．4．1(2)求出全部特征值，用正交性求出其余特征向量，最后用正交对角化反求A．
因A的秩为2，A又为实对称矩阵，故A可相似对角化，且其非零特征值，即其相似对角矩阵上的非零主对角元只有两个．因而0为A的一个特征值，由题设可得
A[1，0，一1]=一[1，0，一1]， A[1，0，1]=[1，0，1]．
故λ₁=一l是A的一个特征值，且属于λ₁=一l的特征向量为
K₂α₂=K₁[1，0，一1]^T， 其中K₁为任意非零常数．
又λ₂=l也是A的一个特征值，且属于λ₂=1的所有特征向量为
K₂α₂=K₂[1，0，1]^T， 其中K₂为任意非零常数．
设[x₁，x₂，x₃]^T为A的属于特征值0的特征向量．由于A为实对称矩阵，则

由

【正确答案】因A为实对称矩阵，故A必可相似对们化，令
P=，则P^-1AP=
因而 A=