问答题
设A为m×n矩阵，且r(A)=
=r＜n，其中
=r＜n，其中
问答题
证明方程组AX=b有且仅有n-r+1个线性无关解；
【正确答案】
【答案解析】[解] 令ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
n-r
为AX=0的基础解系，η
0
为AX=b的特解，显然β
0
=η
0
，β
1
=ξ
1
+η
0
，…，β
n-r
=ξ
n-r
+η
0
为AX=b的一组解，令k
0
β
0
+k
1
β
1
+…+k
n-r
β
n-r
=0，即k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
+(k
0
+k
1
+…+k
n-r
)η
0
=0.
上式左乘A得(k 0 +k 1 +…+k n-r )b=0，因为b≠0时，k 0 +k 1 +…+k n-r =0，于是k 1 ξ 1 +k 2 ξ 2 +…+k n-r ξ n-r =0，因为ξ 1 ，ξ 2 ，…，ξ n-r 为AX=0的基础解系，所以k 1 =k 2 =…=k n-r =0，于是k 0 =0，故β 0 ，β 1 ，…，β n-r 线性无关．
若γ 0 ，γ 1 ，…，γ n-r+1 为AX=b的线性无关解，则ξ 1 =γ 1 -γ 0 ，…，ξ n-r+1 =γ n-r+1 -γ 0 为AX=0的解，令k 1 ξ 1 +k 2 ξ 2 +…+k n-r+1 ξ n-r+1 =0，则
k 1 γ 1 +k 2 γ 2 +…+k n-r+1 γ n-r+1 -(k 1 +k 2 +…+k n-r+1 )γ 0 =0.
因为γ 0 ，γ 1 ，…，γ n-r+1 线性无关，所以k 1 =k 2 =…=k n-r+1 =0，即ξ 1 ，ξ 2 ，…，ξ n-r+1 为AX=0的线性无关解，矛盾，故方程组AX=b恰有n-r+1个线性无关解．
上式左乘A得(k 0 +k 1 +…+k n-r )b=0，因为b≠0时，k 0 +k 1 +…+k n-r =0，于是k 1 ξ 1 +k 2 ξ 2 +…+k n-r ξ n-r =0，因为ξ 1 ，ξ 2 ，…，ξ n-r 为AX=0的基础解系，所以k 1 =k 2 =…=k n-r =0，于是k 0 =0，故β 0 ，β 1 ，…，β n-r 线性无关．
若γ 0 ，γ 1 ，…，γ n-r+1 为AX=b的线性无关解，则ξ 1 =γ 1 -γ 0 ，…，ξ n-r+1 =γ n-r+1 -γ 0 为AX=0的解，令k 1 ξ 1 +k 2 ξ 2 +…+k n-r+1 ξ n-r+1 =0，则
k 1 γ 1 +k 2 γ 2 +…+k n-r+1 γ n-r+1 -(k 1 +k 2 +…+k n-r+1 )γ 0 =0.
因为γ 0 ，γ 1 ，…，γ n-r+1 线性无关，所以k 1 =k 2 =…=k n-r+1 =0，即ξ 1 ，ξ 2 ，…，ξ n-r+1 为AX=0的线性无关解，矛盾，故方程组AX=b恰有n-r+1个线性无关解．
问答题
有三个线性无关解，求a，b及方程组的通解．
【正确答案】
【答案解析】[解]
化为AX=β．因为AX=β有三个非零解，所以AX=0有两个非零解，故4-r(A)≥2，r(A)≤2，又因为r(A)≥2，所以r(A)=
=2．
则a=-3，b=-1．
得原方程组的通解为X=
化为AX=β．因为AX=β有三个非零解，所以AX=0有两个非零解，故4-r(A)≥2，r(A)≤2，又因为r(A)≥2，所以r(A)=
=2．
则a=-3，b=-1．
得原方程组的通解为X=