【正确答案】解
解1 因为r(A^TA)=r(A)，对A施以初等行变换
[*]
可见当a=-1时，r(A)=2，所以a=-1．
△解2
若直接由矩阵A^TA的秩为2来确定A，对A^TA施以初等行变换：
[*]
可见当且仅当a=-1时，r(A^TA)=2，所以a=-1．

【正确答案】由于a=-1，所以[*].矩阵A^TA的特征多项式为
[*]
于是得A^TA的特征值为λ¹=2，λ²=6，λ³=0．对于λ¹=2，由求方程组(2E-A^TA)x=0的一个非零解，可得属于λ¹=2的一个单位特征向量[*]；对于λ²=6，由求方程组(6E-A^TA)x=0的一个非零解，可得属于λ²=6的一个单位特征向量[*]；对于λ³=0，由求方程组(A^TA)x=0的一个非零解，可得属于λ²=0的一个单位特征向量[*]．
令矩阵[*]，
则f在正交变换x=Qy下的标准形为[*]．
用正交变换化二次型成标准形，从矩阵角度讲，就是用正交矩阵化实对称矩阵成对角矩阵．这是本课程最常见的综合性题目，涉及到线性代数基本内容的每一章，既有概念，又有计算．属于必须深刻理解，熟练掌握的内容．解1中r(A^TA)=r(A)可由齐次线性方程组(A^TA)x=0与Ax=0同解、从而两个方程组的系数矩阵的秩相等而得到(这样的题目本章前面有)．解2求矩阵A^TA的秩，是利用初等变换将A^TA化成阶梯形来求其秩的，如果由A^TA的秩为2，A^TA的前2行线性无关，就认为A^TA的第3行就应该为零行，则是错误的．正确的做法是化成阶梯形．