解答题
[2012年] 已知
问答题
9.求实数a的值；
【正确答案】由二次型的秩为2，得到秩(ATA)=秩(A)=2，而
【答案解析】
问答题
10.求正交变换X=QY将f化为标准形．
【正确答案】令
故B=ATA的特征值为λ1=2，λ2=6，λ3=0．
解(2E－B)X=0，得线性无关的特征向量α1=[1，－1，0]T；
解(6E－B)X=0，得线性无关的特征向量α2=[1，1，2]T；
解(0E－B)X=0，得线性无关的特征向量α3=[1，1，－1]T．
因λ1，λ2，λ3互异，B为实对称矩阵，故α1，α2，α3必正交，故只需单位化，得到
令Q=[β1，β2，β3]，则Q为正交矩阵，在正交变换X=QY下，有
QTBQ=QT(ATA)Q=A=diag(2，6，0)，
即二次型f化为标准形f=2y12+6y22．
故B=ATA的特征值为λ1=2，λ2=6，λ3=0．
解(2E－B)X=0，得线性无关的特征向量α1=[1，－1，0]T；
解(6E－B)X=0，得线性无关的特征向量α2=[1，1，2]T；
解(0E－B)X=0，得线性无关的特征向量α3=[1，1，－1]T．
因λ1，λ2，λ3互异，B为实对称矩阵，故α1，α2，α3必正交，故只需单位化，得到
令Q=[β1，β2，β3]，则Q为正交矩阵，在正交变换X=QY下，有
QTBQ=QT(ATA)Q=A=diag(2，6，0)，
即二次型f化为标准形f=2y12+6y22．
【答案解析】