计算题
14.证明消费者最优决策的对偶性。(2 009年南开大学经济学基础)
【正确答案】消费者的最优决策可以用对偶性从两个角度来阐释。
(1)商品X和y的最优选择可以分析成最小预算开支的问题，即选择与既定的无差异曲线相切的最低预算线，获得既定效用水平下的支出最小化。
要使获得某个效用水平的支出最小化，用数学语言表示为
{PXX+PYY)
s．t．U(X，y)=U*
对应的拉格朗日函数由下式给出
L=PXX+PYY－λ[U(X，Y)－U*]式中，λ是拉格朗日乘数。再就X和y求．L的微分，并令导数等于零，得到支出最小化的必要条件为
通过整理可得
所以，支出最小化选择的X和Y必定位于预算线与产生效用U*的无差异曲线的切点上。
(2)商品X和Y的最优选择也可以分析成效用水平最大值的问题，即选择与预算线相切的最高无差异曲线，获得既定预算约束下的效用水平最大化。
既定预算约束下的效用水平最大化，用数学语言表示为
s．t．PXX+PYY－I=0
对应的拉格朗日函数由下式给出
L=U(X，Y)－λ(PXX+PYY－I)
式中，λ是拉格朗日乘数。再就X和Y求L的微分，并令导数等于零，得到效用最大化的必要条件为
通过整理可得
(1)商品X和y的最优选择可以分析成最小预算开支的问题，即选择与既定的无差异曲线相切的最低预算线，获得既定效用水平下的支出最小化。
要使获得某个效用水平的支出最小化，用数学语言表示为
{PXX+PYY)s．t．U(X，y)=U*
对应的拉格朗日函数由下式给出
L=PXX+PYY－λ[U(X，Y)－U*]式中，λ是拉格朗日乘数。再就X和y求．L的微分，并令导数等于零，得到支出最小化的必要条件为
通过整理可得
所以，支出最小化选择的X和Y必定位于预算线与产生效用U*的无差异曲线的切点上。
(2)商品X和Y的最优选择也可以分析成效用水平最大值的问题，即选择与预算线相切的最高无差异曲线，获得既定预算约束下的效用水平最大化。
既定预算约束下的效用水平最大化，用数学语言表示为
s．t．PXX+PYY－I=0
对应的拉格朗日函数由下式给出
L=U(X，Y)－λ(PXX+PYY－I)
式中，λ是拉格朗日乘数。再就X和Y求L的微分，并令导数等于零，得到效用最大化的必要条件为
通过整理可得
【答案解析】